Факультет ИСиТ Вторник, 26.10.2021, 05:55
Приветствую Вас Гость | RSS
[ Персональный раздел · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 2
  • 1
  • 2
  • »
Модератор форума: lamama, saginsa  
Факультет ИСиТ СыктГУ - Форум » Общество & Наука & Политика » Математика и физика » Параллельные прямые и другие интересные мат. вещи
Параллельные прямые и другие интересные мат. вещи
saginsa Дата: Среда, 11.06.2008, 11:27 | Сообщение # 1
Доцент
Группа: Модераторы
Сообщений: 864
Награды: 0
Статус: Offline
Параллельные прямые в геометрии Лобачевского

Часто на вопрос «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?» многие отвечают, что в геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой, параллельные прямые пересекаются. Многие также заблуждаются относительно утверждения евклидовой аксиомы о параллельных, считая, что она утверждает: «Параллельные прямые не пересекаются.»

На самом деле это неверно. Параллельными прямыми и в той, и в другой геометрии называются прямые, которые не пересекаются друг с другом. То есть сама формулировка «в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются» бессмысленна.

Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Пятый постулат Евклида утверждает, что «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». В геометрии Лобачевского эта аксиома выглядит так: «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят хотя бы две прямые, параллельные данной». (В обоих случаях прямые принадлежат одной плоскости.) Таким образом, эту аксиому часто путают с определением параллельных прямых.

Лобачевский доказал, что такая формулировка аксиомы не противоречит ни одной аксиоме из предыдущих четырёх групп, значит, в таком виде стандартные 4 группы аксиом плюс 5-я аксиома в формулировке Лобачевского имеют право на существование и образуют так называемую гиперболическую геометрию (которую часто и называют геометрией Лобачевского).

Также в рекламе бытовой техники Zanussi было: «Параллельные прямые не пересекаются. Доказано Евклидом». Это тоже нонсенс — определение не требует доказательства.


"Я планировала, но не думала ..."
 
Ghost Дата: Среда, 11.06.2008, 11:29 | Сообщение # 2
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Распространено мнение, что великая теорема Ферма (ещё её называют «последней теоремой Ферма») до сих пор не доказана.

Великая теорема Ферма утверждает, что невозможно решить уравнение a^n + b^n = c^n в положительных целых числах при положительном n > 2. (При n = 2 одним из решений, например, является знаменитый египетский треугольник — прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4 ед. измерения, и гипотенузой, равной 5. При n = 1 решения очевидны.)

Это заблуждение очень распространено не только среди неспециалистов, но и среди школьных учителей. Иногда встречаются и преподаватели высшей школы, не знакомые с фактом доказательства.

На самом деле, эта теорема доказана в 1994 году британским математиком Эндрю Уайлсом (при участии Ричарда Тейлора). Доказательство теоремы заняло 109 печатных страниц и было опубликовано в следующем году в журнале «Annals of Mathematics», 141 (1995), сс. 443—551. Уайлз на самом деле доказал частный случай теоремы Таниямы — Шимуры, из которого следовала верность Великой теоремы Ферма.

Таким образом, Великая теорема Ферма была доказана ещё в далёком 1994 году.

 
saginsa Дата: Среда, 11.06.2008, 11:30 | Сообщение # 3
Доцент
Группа: Модераторы
Сообщений: 864
Награды: 0
Статус: Offline
Об этом я уважаемому Expert[у] и своим однокурсникам пытался рассказать на паре. Хотя слушал только Expert. Но мы с ним так и не пришли к конценсусу. cool

(об этом - относить к сообщению #1)


"Я планировала, но не думала ..."
 
Ghost Дата: Среда, 11.06.2008, 11:38 | Сообщение # 4
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Евклидова аксиома о параллельных гласит:

Quote
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Quote
через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
 
eXceed Дата: Среда, 11.06.2008, 13:58 | Сообщение # 5
Профессор
Группа: СуперАктив
Сообщений: 5466
Награды: 0
Статус: Offline
Какая разница Лобачевский или Эвклид. Взгляните на наш мир! Пространство искривлено и хз как вообще прямые на самом деле себя поведу. Может разойдутся из за искривления пространства. Имхо следует считать, что и Эвклид и Лобачевский привели формулировки лишь для частного случая.
Например если провести параллельные прямые через черную дыру (чд), то за счет сокращения Лоренца, прямые станут не только короче но еще и завернуты в спираль, которая сходится в горизонте событий ЧД.


bda-expert.ru — это система форумов, где можно общаться быстро и свободно, где любая точка зрения имеет право на жизнь.
 
Ghost Дата: Среда, 11.06.2008, 14:21 | Сообщение # 6
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Невозможно в рамках любой теории полностью описать вселенную. О теореме Гёделя о неполноте слышал? Это не значит что геометрия Евклида или Лобачевского бесполезна и обсуждать их не стоит. smile

Сообщение отредактировал Ghost - Среда, 11.06.2008, 14:30
 
Ghost Дата: Понедельник, 21.07.2008, 14:13 | Сообщение # 7
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Докажем что все числа равны.

Возьмём два разных числа, такие что:
a < b

Тогда существует такое c > 0, что:
a + c = b

Умножим обе части на (a − b), имеем:
(a + c)(a − b) = b(a − b)

Раскрываем скобки, имеем:
a2 + ca − ab − cb = ba − b2

cb переносим вправо, имеем:
a2 + ca − ab = ba − b2 + cb
a(a + c − b) = b(a − b + c)
a = b

Неточность:

a(a + c − b) = b(a − b + c)
(a − b)(a + c − b) = 0
a = b
(отвергаем, как противоречие условию) или a = b − c

Сообщение отредактировал Ghost - Вторник, 22.07.2008, 05:52
 
Expert Дата: Понедельник, 21.07.2008, 19:18 | Сообщение # 8
Главный
Группа: Администраторы
Сообщений: 6114
Награды: 1
Статус: Offline
Quote (Ghost)
Докажем что все числа равны.

Ждем saginsa. Пусть опровергает wink


Блог декана

Уведомление для прессы и всех пользователей сети интернет: администрация форума может не заметить вовремя нецензурных слов и других, возможно, оскорбительных выражений/картинок/прочих материалов. Если вы заметили косвенный либо прямой факт оскорбления кого бы то ни было, пожалуйста, сообщите об этом администратору форума для принятия решения об удалении/модерировании соответствующего сообщения. Полный текст уведомления см. здесь.
 
Korppi Дата: Понедельник, 21.07.2008, 19:40 | Сообщение # 9
Лесник
Группа: СуперАктив
Сообщений: 170
Награды: 0
Статус: Offline
Но почему теорема Ферма так знаменита? Потому, что доказательство теоремы, принадлежащее самому Ферма было значительно короче, чем современное. Читая сочинения греческого математика, он оставил на полях книги запись, содержащую формулировку теоремы и приписку: "Я нашел этому замечательное доказательство, но оно не поместится на полях". И речь шла явно не о сотнях страниц)))

Если поедете в Финляндию - передавайте от меня привет тысяче озер...
 
Ghost Дата: Понедельник, 21.07.2008, 20:21 | Сообщение # 10
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Quote (Expert)
Ждем saginsa. Пусть опровергает

У меня то что написано после слова Неточность и есть опровержение smile

Quote (Korppi)
"Я нашел этому замечательное доказательство, но оно не поместится на полях". И речь шла явно не о сотнях страниц

Он врал, потому что сам после этого опубликовал доказательство частного случая smile Не было у него общего доказательства скорее всего.


Сообщение отредактировал Ghost - Понедельник, 21.07.2008, 20:29
 
Expert Дата: Вторник, 22.07.2008, 00:52 | Сообщение # 11
Главный
Группа: Администраторы
Сообщений: 6114
Награды: 1
Статус: Offline
Quote (Ghost)
У меня то что написано после слова Неточность и есть опровержение

А-а-a! Понятно. Что-то не обратил внимание. Элегантно.

Quote (Ghost)
Он врал, потому что сам после этого опубликовал доказательство частного случая Не было у него общего доказательства скорее всего.

Да черт его знает, как всё было на самом деле. Вокруг исторических личностей столько информации, что не разберешь - где правда, а где вымысел.


Блог декана

Уведомление для прессы и всех пользователей сети интернет: администрация форума может не заметить вовремя нецензурных слов и других, возможно, оскорбительных выражений/картинок/прочих материалов. Если вы заметили косвенный либо прямой факт оскорбления кого бы то ни было, пожалуйста, сообщите об этом администратору форума для принятия решения об удалении/модерировании соответствующего сообщения. Полный текст уведомления см. здесь.
 
Korppi Дата: Вторник, 22.07.2008, 18:23 | Сообщение # 12
Лесник
Группа: СуперАктив
Сообщений: 170
Награды: 0
Статус: Offline
А про теорему Курта Гёделя кто-нибудь слышал?

Если поедете в Финляндию - передавайте от меня привет тысяче озер...
 
Ghost Дата: Вторник, 22.07.2008, 22:39 | Сообщение # 13
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Quote (Korppi)
А про теорему Курта Гёделя кто-нибудь слышал?

Про какую? О неплоноте? Их 2. О других не слышал. Борис Стругацкий сказал о первой из них:
Quote
Она перевернула многие (а может быть и все) представления о математике. Показалось на мгновение, что вся математика рухнула. Раз существуют утверждения, относительно которых невозможно в принципе доказать ни истинность их, ни ложность, то как можно работать дальше? Говорят, сам Гедель был так потрясен своим открытием, что ушел из математики навсегда и до конца жизни работал, как физик-теоретик.

Кстати, одним из случаев такого недоказуемого утверждения является уже упоминавшийся в этой теме пятый постулат Евклида. Он недоказуем с помощью остальных аксиом классической геометрии. Существуют так же недоказуемые аксиомы в более сложных чем у Георга Кантора аксиоматиках теории множеств, которые обходят парадокс Рассела ( "Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой?" в популярной формулировке).

Сообщение отредактировал Ghost - Вторник, 22.07.2008, 23:07
 
Korppi Дата: Среда, 23.07.2008, 08:11 | Сообщение # 14
Лесник
Группа: СуперАктив
Сообщений: 170
Награды: 0
Статус: Offline
Про первую) Но какой он сам-то человек был! Забитый, постоянно чего-то боялся, этакая серая мышь, и вдруг - чуть ли не мир перевернул. Я думаю, его коллеги были в еще большем шоке.

Если поедете в Финляндию - передавайте от меня привет тысяче озер...
 
Expert Дата: Пятница, 03.10.2008, 20:57 | Сообщение # 15
Главный
Группа: Администраторы
Сообщений: 6114
Награды: 1
Статус: Offline
Что-то давно у нас не было ничего математического sad .

saginsa и все остальные любители математики, ау! smile


Блог декана

Уведомление для прессы и всех пользователей сети интернет: администрация форума может не заметить вовремя нецензурных слов и других, возможно, оскорбительных выражений/картинок/прочих материалов. Если вы заметили косвенный либо прямой факт оскорбления кого бы то ни было, пожалуйста, сообщите об этом администратору форума для принятия решения об удалении/модерировании соответствующего сообщения. Полный текст уведомления см. здесь.
 
Ghost Дата: Пятница, 03.10.2008, 21:48 | Сообщение # 16
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Гомеоморфизм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Кружка и пончик топологически эквивалентны:

Прикрепления: 7438835.gif(496.9 Kb)


Сообщение отредактировал Ghost - Пятница, 03.10.2008, 21:50
 
lamama Дата: Понедельник, 06.10.2008, 09:05 | Сообщение # 17
Заведующий кафедрой
Группа: Модераторы
Сообщений: 524
Награды: 0
Статус: Offline
А я думал, что я лекции по квантам читаю на другом языке. Значит - не я один на этом языке говорю. biggrin

Не оседать, не приживаться -
Ступенька за ступенькой - без печали,
Шагать вперед, идти от дали к дали,
Все шире быть, все выше подниматься.
 
Ghost Дата: Понедельник, 17.11.2008, 23:37 | Сообщение # 18
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
МАТЕМАТИКА И ПЕРЕДЕЛ МИРА
Академик РАН Владимир Игоревич Арнольд.

Рассмотрим первую цифру числа, выражающего площадь страны. Эта цифра может быть единицей, двойкой..., девяткой. Оказывается, распределение государств мира по первой цифре их площади крайне неравномерно. Страны, первая цифра площади которых равна единице, составляют примерно 30% общего их числа, а количество стран, первая цифра площади которых равна девяти, примерно в 6 раз меньше; доля стран, имеющих промежуточную между единицей и девяткой первую цифру площади, постепенно уменьшается. Данное распределение не зависит от единиц площади: ее можно измерять в квадратных километрах, в квадратных милях или в квадратных дюймах - результат получается таким же.

Hеравномерное распределение первых цифр наблюдается и во многих других случаях. Hапример, первые цифры численности населения стран мира демонстрируют такую же закономерность. Она была открыта в 1881 г. С. Hьюкомом и в соответствии с принципом эпонимики названа эмпирическим законом Ф. Бенфорда. Вклад математики в объяснение этих довольно таинственных эмпирических закономерностей состоит в разработке идей эргодической теории динамических систем. В последовательности первых цифр степеней двойки: 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4.., единицы составляют примерно 30%, плотность девяток - в 6 раз меньше.

Эти математические факты строго доказываются в эргодической теории динамических систем. Рассмотрим поворот окружности на угол, несоизмеримый с 2pi. Повторяя этот поворот, мы получим из исходной точки последовательность точек окружности, называемую орбитой исходной точки под действием динамической системы, заданной поворотом окружности. Эта последовательность точек равномерно распределена вдоль окружности: движущаяся точка проводит в каждой области время, пропорциональное мере этой области (согласно теореме Г. Вейля, предшественнице эргодической теоремы Дж. Биркгофа ).

Приложение теоремы о равномерном распределении к повороту на угол 2pi*lg2, несоизмеримый с 2pi, доставляет странное распределение первых цифр чисел 2^n. Действительно, первая цифра числа зависит только от положения дробной доли его десятичного логарифма на окружности дробных частей. Длина дуги (0; 2pi*lg2), соответствующей первой цифре, равной единице, составляет около 30% длины всей этой окружности. Заметим, что
дробные доли чисел, составляющих геометрическую прогрессию (вроде 2^n), образуют орбиту соответствующей динамической системы (поворота окружности на соответствующий угол). Эта орбита равномерно распределена вдоль окружности, исключая лишь случай поворота на угол, соизмеримый с 2pi (что соответствует геометрической прогрессии, знаменатель которой равен рациональному кратному 10). Поэтому мы получаем одно и то же таинственное неравномерное распределение первых цифр для любой типичной геометрической прогрессии.

Этот математический результат объясняет распределение первых цифр численности населения стран мира. В соответствии с законом Мальтуса численность населения одной и той же страны в разные годы образует геометрическую прогрессию. Следовательно, первые цифры этих численностей подчиняются таинственному неравномерному закону распределения, так что примерно 30% из них - единицы.

Согласно эргодическому принципу, статистику временной эволюции численности населения одной страны можно заменить пространственным средним - средним по всем странам, рассматриваемым в один и тот же момент времени. Следовательно, распределение первых цифр численности населения стран мира должно быть таким же, как распределение первых цифр степеней двойки.

Чтобы получить распределение площадей, надо фиксировать какую-либо модель передела мира. В простейшей модели каждая страна с вероятностью 50% делится (за некоторую единицу времени) на две страны равной площади и с вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же площади. Для этой сверхупрощенной модели можно строго доказать, что через несколько единиц времени устанавливается все то же таинственное распределение первых цифр чисел, выражающих площади.

Предположительно такая же теорема справедлива для широкого класса модифицированных моделей. Hапример, можно заменить 50% другой вероятностью распада страны, можно сделать части неравными, можно даже учесть географическое положение стран (допуская объединение лишь с соседями). Компьютерные эксперименты с модифицированными моделями были выполнены в 1997 г. М.В. Хесиной в Торонто и Ф. Аикарди в Триесте. После небольшого числа итераций наблюдалось таинственное распределение первых цифр чисел, выражающих площади стран. Однако соответствующие предельные теоремы пока не доказаны.

Сообщение отредактировал Ghost - Понедельник, 17.11.2008, 23:38
 
Ghost Дата: Понедельник, 17.11.2008, 23:51 | Сообщение # 19
Профессор
Группа: Модераторы
Сообщений: 2963
Награды: 0
Статус: Offline
Английский специалист по космологии Г. Дж. Уитроу в своей книге «Структура и эволюция Вселенной» утверждает, что разум не мог бы возникнуть в пространстве с размерностью, большей трех, ибо в пространствах высших размерностей планеты не могут двигаться вокруг Солнца по стационарным орбитам. А как обстоит дело в одномерных и двумерных пространствах? Мозг состоит из огромного количества нервных клеток (соответствующих вершинам графа), попарно соединенных между собой нервными волокнами (ребрами графа), которые нигде не пересекаются друг с другом. Трехмерное пространство не накладывает никаких ограничений на число нервных клеток, удовлетворяющих этим требованиям.

«Таким образом, — пишет Уитроу, — мы приходим к заключению, что число измерений физического пространства обязательно должно быть равно трем и не может быть ни больше, ни меньше, потому что это единственное условие, при котором происходит развитие высших форм земной жизни, в частности человека, сформулировавшего задачу, решением которой мы занимаемся».

Мартин Гарднер, «Математические досуги».

Сообщение отредактировал Ghost - Понедельник, 17.11.2008, 23:53
 
lamama Дата: Среда, 19.11.2008, 20:37 | Сообщение # 20
Заведующий кафедрой
Группа: Модераторы
Сообщений: 524
Награды: 0
Статус: Offline
Чесно говоря, особенно после прочтения "Геометризации физики" (Жорж Лошак - ученик Луи де Бройля), я пришел к выводу, что наше пространство на самом деле не трехмерно (и даже не три + время) - а гораздо более сложное многообразие. Иногда координат - 3 (+ есть время), а иногда (в зависимости от того, с какой точки зрения смотреть на конкретный физический объект) их может быть от одной до бесконечности (замечу, что задачи в в бесконечномерном случае иногда решаются проще, чем в одно-, двух- и трехмерном случае). И физика сегодня находится в кризисе: есть много теорий и гипотез, но все они ограничены тем, что не описывают всего многообразия наблюдаемого МИРА. А есть ли он - этот МИР? В этом плане физика основана на вере (только называется это постулатом, но суть - то же самое) в существование объективного, наблюдаемого МИРА. Что касается фундаментальных констант, так для самоорганизации на микроуровне (которая приводит к самоорганизации на макроуровне - жизни и мегауровне) диапазон, в которых они должны находится - очень узок. Получается: мы есть, потому что иначе не могло быть. А если еще вспомнить Гегеля, то мы - результат самопознания Вселенной (теория эволюции Абсолютного Духа, но в моем понимании).

Не оседать, не приживаться -
Ступенька за ступенькой - без печали,
Шагать вперед, идти от дали к дали,
Все шире быть, все выше подниматься.
 
Факультет ИСиТ СыктГУ - Форум » Общество & Наука & Политика » Математика и физика » Параллельные прямые и другие интересные мат. вещи
  • Страница 1 из 2
  • 1
  • 2
  • »
Поиск:



Copyright bda-expert.ru © 2008-2021Хостинг от uCoz